Couplage d'une méthode des éléments finis  avec une méthode intégrale d'élément de frontière pour le problème de la magnétostatique:
 Il s'agit de construire et d'étudier des schémas numériques pour le problème de la magnétostatque en domaine non borné basées sur des formulations mixtes hybrides en partant des travaux réalisés par Bossavit. De nouvelles formulations mixtes hybrides ont été proposées et étudiées en utilisant la théorie de Brezzi-Babuska. L'intéret de ces diverses formulations réside dans le fait que le champ magnétique ou l'induction magnétique est une variable du problème variationnel. En outre, les formulations sont obtenues en couplant une méthode des éléments finis conforme, (d'ou l'utilisation des éléments finis d'arete  pour le champ magnétique et des éléments finis de Raviart-Thomas pour l'induction magnétique,) avec une méthode intégrale de frontière. Cette méthode permet de ramener le problème en domaine borné.
Plusieurs approches intégrales ont été proposées et notamment l'utilisation de l'opérateur de Poincaré-Steklov. Des méthodes de discrétisation de cet opérateur ont été étudiées notamment avec une méthode intégrale ou avec des opérateurs de Caldéron, et validées sur des tests numériques (thèse de Ménad, Cergy 2005) .

 Méthode discontinue de Galerkin pour les équations de Maxwell:
Ce travail porte sur l'étude de quelques schémas numériques basés sur des formulations discontinues de Galerkin pour les équations de Maxwell. Les schémas sont d'abord construits puis étudiés. Le premier problème étudié est celui de l'électrostatique en domaine borné avec la condition limite du conducteur parfait. Une étude théorique du schéma est faite en s'inspirant des travaux notamment de Schotzau et Pérugia. Ensuite une méthode de Galerkin discontinue de type hp est proposées pour les équations des ondes. Lors de ces études, des inégalités de type friedrichs-Poincaré ont été établies sur les espaces discontinus, ce qui nous a permis d'établir des conditions inf-sup pour montrer que les problèmes étaient bien posés (thèse de Zaghdani, Orsay 2006).

Etude du couplage d'une méthode discontinue de Galerkin avec une méthode d'éléments finis et une méthode intégrale:
Ce travail a porté sur le couplage d'une méthode discontinue de Galerkin avec une méthode intégrale pour résoudre le problème de la magnétostatique en domaine non borné.  Une première approche a été d'introduire une couche près du bord dans laquelle la discrétisation est faite avec une méthode des éléments finis car les opérateurs intégraux qui sont utilisés pour le problème extérieur demande un minimum de régularité. A l'intérieur du domaine, en dehors de la couche, on utilise une methode discontinue de Galerkin. On a été obligé d'étudier un couplage de la méthode discontinue de Galerkin avec la méthode des éléments finis et un couplage de la méthode des éléments finis avec une méthode intégrale. Actuellement, on réfléchit à un couplage plus simple en utilisant des éléments mortar pour couplée la méthode discontinue de Galerkin avec une methode intégrale.

Résolution d'un problème aux limites inverse pour l'équation des ondes tridimensionelle en présence d'imperfections de petites volumes (travail avec Khelifi et A. Sushchenko (thésard)):
La localisation d'inhomogénéités est d'une grande importance, puisqu'il y a de nombreuses applications pratiques: identifications de tumeurs, detection de mines anti-personnel...
Habituellement,  quand on cherche à localiser une imperfection contenue dans un domaine borné, nous nous interessons à un problème inverse pour retrouver la géométrie de l'inhomogénéité.
Un premier travail théorique en collaboration ave Khélifi,  a été d'etudier le comportement de l'énergie électromagnétique lorsque des inhomogénéites sont présentes dans le cadre des équations de Maxwell en régime harmonique. Nous avons établi une estimée de l'energie.
Un deuxième travail (en collaboration avec Khélifi et le thèsard  Shuschenko) a été de décrire une méthode pour déterminer la localisation d'inhomogénéités situées dans un domaine borné. Alors, on considère le problème aux limites qui est l'équations des ondes. Utilisant une méthode de controle géométrique, on développe une méthode asymptotique en se basant sur une moyenne appropriée des mesures dynamiques de frontières. Un algorithme d'inversion a été associée à cette méthode. La discrétisation est faite par une methode discontinue de Galerkin (thèse de Zaghdani, Orsay 2006) avec des éléments P1 et le problème de controle est résolu par une approche de contrabilité exacte (HUM). Finalement, une transformée de Fourier rapide permet de localiser les imperfections et de donner des informations sur leur géométrie (diamètre). Un code de calcul en 3D est cours de réalisation pour valider la théorie.

Etude de schémas numériques établis en utilisant une méthode locale discontinue de Galerkin pour des équations conservatives:
Ce travail est issu d'une collaboration avec frédéric Pascal (Ens Cachan) . Un schéma numerique est proposé pour résoudre des equations de type conservatives. On utilise la méthode discontinue de Galerkin en temps et en espace c'est à dire que l'on intégre en temps et en espace sur chaque sous domaine de la discrétisation du domaine de calcul. Une etude mathématique théorique a été faite pour le cas linéaire et non lineaire. Une thèse a été lancée sur ce domaine pour réaliser des simulations numériques qui permettraient de valider la théorie et mettre en évidence les propriétes de cette nouvelle famille de schémas numériques.

Tomographie (travail avec T. Truong (LPTM), Mai Nguyen (Etis)):
  1. Imagerie par rayonnement diffusé.
  2. Problèmes inverses en imagerie.
  3. Transformations intégrales de type Radon et nouvelles applications.
  4. Transformations multi-échelles.
  5. Applications (imagerie médicale, astrophysique, contrôle industriel non destructif, images laser, prospection géologique, imagerie micro-onde).
 - Exemple d'application:  De nouvelles méthodes de contrôle non-destructif (CND) par mesure du rayonnement gamma diffusé sont étudiées. En rupture avec les méthodes traditionnelles, dans lesquelles le rayonnement diffusé est considéré comme du bruit et éliminé, le rayonnement diffusé est ici un agent actif dans la formation et dans la reconstruction d’images. Cette nouvelle imagerie est modélisée par une nouvelle transformation de Radon définie sur des arcs de cercle – une généralisation de la transformation de Radon standard définie sur des lignes ou des plans en tomographie conventionnelle.
Le CND basé sur cette nouvelle imagerie débouche sur plusieurs avantages: il se présente comme une alternative à la radiographie car le défaut sera caractérisé par sa densité d’électrons (sites de diffusion) au lieu de sa carte d’atténuation obtenue en radiographie. Il est d’autant plus intéressant qu’il existe des matériaux dont les coefficients d’atténuation varient au cours de leur vieillissement alors que leurs densités électroniques ne changent pas. D’autre part, lorsque les photons diffusés sont enregistrés à différentes énergies, un détecteur ponctuel suffit pour reconstruire le défaut en deux dimensions (2D) à partir d’une série d’images indexées par l’énergie ou par l’angle de diffusion. La configuration d’acquisition de données peut être moins contraignante que celle en tomographie conventionnelle.